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EnunciadoEditar

La variación del campo gravitatorio ($ g $) con la distancia radial ($ r $) en el interior de una esfera maciza de masa $ M $ depende de:

  1. $ r $.
  2. $ r^{2} $.
  3. $ r^{-1} $.
  4. $ r^{-2} $.
  5. $ r^{-3} $.

SoluciónEditar

Aplicando el teorema de Gauss para el campo gravitatorio

$ \phi=\oint_S \vec{g} \cdot d\vec{S}=-4 \pi G \int_V \rho dV $

para una distancia $ r < R $, donde $ R $ es el radio de la esfera, tenemos que

$ \oint_S \vec{g} \cdot d\vec{S}=gS=4 \pi r^{2}g=-4 \pi G \rho V' $

donde $ V' $ representa el volumen dela esfera de radio $ r $. Despejando $ g $ llegamos a la expresión

$ g=-\frac{G}{r^{2}} \rho V'=-\frac{G}{r^{2}} \frac{M}{V} V'=-\frac{GM}{R^3}r $

donde se ha tenido en cuenta que se considera que la densidad es constante e igual a $ \rho=\frac{M}{V} $ y que

$ \frac{V'}{V}=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}=\frac{r^{3}}{R^{3}} $

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar